Простое гармоническое движение изобретено французским математиком бароном Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1822 году. Эдвин Армстронг (18 декабря 1890 г. - 1 февраля 1954 г.) наблюдал колебания в 1992 г. в своих экспериментах, а Александр Мейснер (14 сентября 1883 г. - 3 января 1958 г.) изобрел генераторы в марте 1993 года. Термин гармонический - латинское слово. В этой статье обсуждается обзор гармонического осциллятора, включая его определение, тип и применение.

Что такое гармонический осциллятор?

Гармонический осциллятор определяется как движение, при котором сила прямо пропорциональна частице из точки равновесия, и он производит выходной сигнал в виде синусоидальной волны. Сила, вызывающая гармонию движение можно математически выразить как

F = -Kx

Где,

F = восстанавливающая сила

K = жесткость пружины

X = расстояние от равновесия

блок-схема гармонического осциллятора

В гармоническом движении есть точка, в которой система колеблется, и сила, которая снова и снова переносит массу в ту же точку, откуда она начинается, сила называется возвращающей силой, а точка называется точкой равновесия или средним положением. Этот осциллятор также известен как линейный гармонический осциллятор . Энергия течет из активных составные части к пассивным компонентам в генераторе.

Блок-схема

В блок-схема гармонического осциллятора состоит из усилитель и сеть обратной связи. Усилитель используется для усиления сигналов, усиленные сигналы проходят через сеть обратной связи и генерируют выходной сигнал. Где Vi - входное напряжение, Vo - выходное напряжение, а Vf - напряжение обратной связи.

Пример

Месса на пружине: Пружина обеспечивает возвращающую силу, которая ускоряет массу, а возвращающая сила выражается как

F = ma

Где m - масса, а - ускорение.

“Схема датчика освещенности с использованием ldr ”

масса на пружине

Пружина состоит из массы (м) и силы (F). Когда сила тянет массу в точке x = 0 и зависит только от x - положение массы и жесткости пружины обозначается буквой k.

Типы гармонического осциллятора

Типы этого генератора в основном включают следующие.

Принудительный гармонический осциллятор

Когда мы прикладываем внешнюю силу к движению системы, это движение называется вынужденным гармоническим осциллятором.

Затухающий гармонический осциллятор

Этот осциллятор определяется как, когда мы прикладываем внешнюю силу к системе, движение осциллятора уменьшается, и его движение называется затухающим гармоническим движением. Есть три типа затухающих гармонических осцилляторов:

демпфирующие формы волны

Чрезмерно демпфированный

Когда система медленно движется к точке равновесия, то говорят, что это перезатухающий гармонический осциллятор.

Под демпфированием

Когда система быстро движется к точке равновесия, то говорят, что это перезатухающий гармонический осциллятор.

Критическое затухание

Когда система движется максимально быстро, не колеблясь около точки равновесия, это называется перезатухающим гармоническим осциллятором.

Квантовая

Его изобрели Макс Борн, Вернер Гейзенберг и Вольфганг Паули из «Геттингенского университета». Слово квант - это латинское слово, а значение кванта - небольшое количество энергии.

Энергия нулевой точки

Энергия нулевой точки также известна как энергия основного состояния. Он определяется, когда энергия основного состояния всегда больше нуля, и эта концепция была открыта Максом Планком в Германии и формулой, разработанной в 1990 году.

Средняя энергия уравнения простого гармонического осциллятора с затуханием

Есть два типа энергий: кинетическая энергия и потенциальная энергия. Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии равна полной энергии.

E = K + U ………………. Уравнение (1)

Где E = Общая энергия

K = кинетическая энергия

U = потенциальная энергия

Где k = k = 1/2 мВ^два………… уравнение (2)

U = 1/2 кх^два………… уравнение (3)

колебательный цикл для средних значений

Средние значения кинетической и потенциальной энергии за цикл колебаний равны

Где v^два= v^два(К^два-Икс^два) ……. уравнение (4)

Подставим уравнение (4) в уравнение (2), и уравнение (3) получит

k = 1/2 м [w^два(К^два-Икс^два)]

= 1/2 м [Aw cos (wt + ø₀)]^два……. уравнение (5)

U = 1/2 кх^два

= 1/2 k [A sin (wt + ø₀)]^два……. уравнение (6)

Подставив уравнение (5) и уравнение (6) в уравнение (1), вы получите общее значение энергии

E = 1/2 м [w^два(К^два-Икс^два)] + 1/2 kx^два

= 1/2 м Вт^два-1/2 м Вт^дваК^два+ 1/2 тыс.^два

= 1/2 м Вт^дваК^два+1/2 х^два(K-mw^два) ……. уравнение (7)

Где mw^два= K , подставим это значение в уравнение (7)

E = 1/2 К А^два- 1/2 Kx^два+ 1/2 х^два= 1/2 К А^два

Общая энергия (E) = 1/2 К А^два

Средняя энергия за один период времени выражается как

К_{средний}= U_{средний}= 1/2 (1/2 кА^два)

Волновая функция гармонического осциллятора

Оператор Гамильтона выражается как сумма кинетической энергии и потенциальной энергии и выражается как

ђ (Q) = T + V ………………. уравнение (1)

Где ђ = хамитонов оператор

T = кинетическая энергия

V = потенциальная энергия

Чтобы сгенерировать волновую функцию, мы должны знать уравнение Шредингера, и это уравнение выражается как

-đ^два/ 2 мкм * d^дваѱ_υ(Q) / dQ^два+ 1 / 2KQ^дваѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. уравнение (2)

Где Q = длина нормальной координаты

Μ = Эффективная масса

K = постоянная силы

Граничные условия уравнения Шредингера:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

Мы также можем записать уравнение (2) в виде

d^дваѱ_υ(Q) / dQ^два+ 2 мк / đ^два(E_υ-K / 2 * Q^два) ѱ_υ(Q) = 0 ………… уравнение (3)

Параметры, используемые для решения уравнения:

β = ђ / √μk ……… .. уравнение (4)

d^два/ dQ^два= 1 / β^дваd^два/ dx^два………… .. уравнение (5)

Подставьте уравнение (4) и уравнение (5) в уравнение (3), тогда дифференциальное уравнение для этого осциллятора станет

d^дваѱ_υ(Q) / dx^два+ (2 мкб^дваE_υ/ đ^два- Икс^два) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. уравнение (6)

Общее выражение для степенного ряда:

ΣC¬nx2 …………. уравнение (7)

Экспоненциальная функция выражается как

ехр (-x^два/ 2) ………… уравнение (8)

уравнение (7) умножается на уравнение (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

Полиномы Эрмита получаются с помощью следующего уравнения

ђ_υ(х) = (-1)^υ* ехр (х^два) d / dx^υ* ехр (-x^два) …………… .. уравнение (10)

Нормирующая константа выражается как

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .уравнение (11)

В решение простого гармонического осциллятора выражается как

Ѱ_υ(х) = N_υЧАС_υ(и) е^{-x2 / 2}……………… уравнение (12)

Где N_υпостоянная нормализации

ЧАС _υЭрмит

является ^{-x2 / два}гауссовский

Уравнение (12) представляет собой волновую функцию гармонического осциллятора.

В этой таблице показаны полиномы Эрмита с первым членом для состояний с самой низкой энергией.

^υ	0	1	два	3
ЧАС_υ(Y)	1	2 года	4y^два-два	8лет³-12лет

Волновые функции график простого гармонического осциллятора для четырех низкоэнергетических состояний показаны на рисунках ниже.

волновые функции гармонического осциллятора

Плотности вероятности этого осциллятора для четырех низкоэнергетических состояний показаны на рисунках ниже.

плотности вероятности волновых форм

Приложения

Sреализовать гармонический осцилляторприложения в основном включают следующие

Аудио и видео системы
Радио и другие устройства связи
Инверторы , Будильники
Зуммеры
Декоративные светильники

Преимущества

В преимущества гармонического осциллятора находятся

Дешевый
Генерация высоких частот
Высокая эффективность
Дешевый
Портативный
Экономичный

Примеры

Пример этого осциллятора включает следующее.

Музыкальные инструменты
Простой маятник
Система массовых пружин
Качать
Движение стрелок часов
Движение колес автомобилей, грузовиков, автобусов и т. Д.

Это один из видов движения, который мы можем наблюдать ежедневно. Гармонический осциллятор волновая функция с использованием Шредингера и уравнения гармонического осциллятора выведены. Возникает вопрос, какие движения выполняются при прыжках с тарзанки?