Расчет индуктивности конденсатора

Индукторы можно представить как противоположность конденсаторов. Основное различие между конденсатором и катушкой индуктивности заключается в том, что конденсатор несет между пластинами защитный диэлектрик, который препятствует прохождению тока через его выводы. Здесь он действует как разомкнутая цепь.

С другой стороны, индуктивность катушки индуктивности обычно (хотя и не всегда) имеет очень низкое или минимальное сопротивление. По сути, он ведет себя как замкнутая цепь.

Конденсатор-индуктор двойственности

В электронике существует уникальный термин для обозначения этого типа взаимосвязи между двумя параметрами схемы или ее частей. Элементы этого типа пары известны как двойники друг друга . Например, в зависимости от способности проводить ток, разомкнутая цепь является двойником замкнутой цепи.

По тому же принципу индуктор является двойным конденсатором. Двойственность катушек индуктивности и конденсаторов гораздо глубже, чем просто естественная способность проводить ток.

В этой статье мы сравниваем принцип работы индуктора и конденсатора и оцениваем результаты расчетами и формулами.

Несмотря на то, что катушки индуктивности обычно редко встречаются в электронных схемах (поскольку сегодня их в основном заменяют операционными усилителями в активных фильтрах), другие части, участвующие в цепи, похоже, несут некоторую величину индуктивности.

Собственная индуктивность выводов конденсатора или резистора становится большой проблемой в высокочастотных цепях, что объясняет, почему в таких приложениях так часто используются бессвинцовые резисторы и конденсаторы для поверхностного монтажа.

Основные уравнения конденсатора

Основное уравнение для конденсаторов - это уравнение, с помощью которого определяется фарада:

C = Q / I [Ур.19]

где C - емкость в фарадах, Q - заряд в кулонах, а U - pd между пластинами в вольтах.

Через формулу. 19, мы получаем формулу вида Q = ∫ I dt + c, где c - начальный заряд, если таковой имеется. Определив Q, мы можем определить U по формуле. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C [Уравнение 21]

Важными характеристиками конденсатора могут быть следующие: если к нему применяется периодический ток (обычно ток, который колеблется синусоидально), заряд конденсатора и напряжение на нем также колеблются синусоидально.

Кривая заряда или напряжения представляет собой отрицательную косинусоидальную кривую, или мы можем представить ее как синусоидальную кривую, которая отстает от кривой тока на величину число Пи / 2 операции (90 °).

Основное уравнение, которое определяет генри, единицу индуктивности, имеет вид

L = NΦ / I [Уравнение 22]

Применительно к одиночной катушке самоиндукция по Генри может быть соотношением потока (магнитный поток<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Ур.23]

Это уравнение предполагает тот факт, что ЭДС. индукция внутри индуктора зависит от связанной скорости изменения потока.

Чем быстрее изменяется поток, тем выше наведенная ЭДС. Например, когда поток через индуктор или катушку увеличивается со скоростью 2 мВт / с^-1, и предполагая, что катушка имеет ДВАДЦАТЬ ПЯТЬ витков, тогда U = 25x2 = 50V.

Путь э.д.с. таков, что он сопротивляется изменениям потока, как это определено законом Ленца.

На эту истину часто указывают, ставя перед правой частью уравнения знак минус, однако, если мы считаем, что U является обратной ЭДС, этот знак можно убрать.

Дифференциалы

Член dΦ / dt в уравнении. 23 указывает то, что мы узнали, как скорость изменения потока. Фраза называется дифференциалом Φ по t, и целая ветвь арифметики посвящена работе с такого рода выражениями. Фраза имеет вид единственного числа (dΦ), разделенного на еще одну величину (dt).

Дифференциалы используются для связывания многочисленных наборов пропорций: dy / dx, например, сопоставляет переменные x и y. Когда график строится с использованием значений x по горизонтальной оси и значений y по вертикальной оси, dy / dx показывает, насколько крутым является наклон или градиент графика.

Если U - это напряжение затвор-исток полевого транзистора, где T - соответствующий ток стока, то dI / dU означает величину, с которой изменяется I при заданных изменениях U. В качестве альтернативы мы можем сказать, что dI / dU - это прозрачность. Обсуждая индукторы, dΦ / dt может быть скоростью изменения потока во времени.

Вычисление дифференциала можно рассматривать как обратную процедуру интегрирования. В этой статье недостаточно места для изучения теории дифференциации, тем не менее, мы определим таблицу обычно используемых величин вместе с их дифференциалами.

Стандартные дифференциалы

В приведенной выше таблице в качестве факторов используются I и t вместо стандартных x и y. Так что его детали относятся именно к электронике.

В качестве примера, учитывая, что I = 3t +2, то, как I отклоняется относительно времени, можно визуализировать на графике на рис. 38. Чтобы найти скорость изменения I в любой момент, мы оцениваем dI / dt по формуле ссылаясь на таблицу.

Первым элементом функции является 3t или, чтобы отформатировать его как первую строку таблицы, 3t¹. Если n = 1, дифференциал равен 3t^1-1= 3т⁰.

Поскольку t⁰= 1, дифференциал равен 3.

Вторая величина - 2, что можно выразить как 2t⁰.

Это изменяет n = 0, и величина дифференциала равна нулю. Дифференциал константы всегда равен нулю. Объединяя оба эти фактора, мы получаем:

dI / dt = 3

На этом рисунке дифференциал не включает t, что означает, что дифференциал не зависит от времени.

Проще говоря, наклон или градиент кривой на рис. 38 постоянно равен 3. На рисунке 39 ниже показана кривая для другой функции, I = 4 sin 1,5t.

Со ссылкой на таблицу, в этой функции α = 1,5 и b = 0. В таблице показано, что dl / dt = 4x1,5cos1,5t = 6cos 1,5t.

Это сообщает нам мгновенную скорость изменения I. Например, при t = 0,4, dI / dt = 6cos0,6 = 4,95. Это можно заметить на рис. 39, на котором кривая для 6 cos0,6t включает значение 4,95 при t = 0,4.

Мы также можем заметить, что наклон кривой 4sin1.5t составляет 4,95 при t = 0,4, как показано касательной к кривой в этой точке (относительно различных масштабов на двух осях).

Когда t = π / 3, точка, когда ток максимален и постоянен, в данном случае dI / dt = 6cos (1,5xπ / 3): 0, что соответствует нулевому изменению тока.

Напротив, когда t = 2π / 3 и ток переключается на максимально возможном уровне с положительного на отрицательный, dI / dt = 6cosπ = -6, мы видим его максимальное отрицательное значение, демонстрируя сильное снижение тока.

Простое преимущество дифференциалов состоит в том, что они позволяют нам определять скорость изменения для функций, которые намного сложнее, чем I = 4sin 1,5t, и без необходимости строить кривые.

Вернуться к расчетам

Реорганизуя члены в уравнении 22, мы получаем:

Φ = (L / N) I [Ур.24]

Где L и N имеют постоянные размеры, но Φ и I могут иметь значение по времени.

Дифференцирование двух сторон уравнения по времени дает:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Ур. 25]

Объединение этого уравнения с уравнением 23 дает:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Уравнение 26]

Это еще один способ выразить Генри . Можно сказать, что катушка с самоиндукцией 1 Гн, изменение тока 1 А · с^-1генерирует обратную ЭДС. от 1 В. Учитывая функцию, которая определяет, как ток изменяется во времени, уравнение. 26 помогает нам рассчитать обратную ЭДС. индуктора в любой момент.

Ниже приведены несколько примеров.

A) I = 3 (постоянный ток 3 A) dl / dt = 0. Вы не можете найти никакого изменения тока, поэтому обратная ЭДС. равно нулю.

B) I = 2t (линейный ток) dI / dt = 2 A · с^-1. При длине катушки L = 0,25 Н задняя ЭДС. будет постоянным при 0,25x2 = 0,5 В.

C) I = 4sin1,5t (синусоидальный ток, приведенный на предыдущем рисунке, dl / dt = 6cos 1,5t. Для катушки с L = 0,1 H мгновенная обратная ЭДС составляет 0,6cos1,5t. Обратная ЭДС соответствует дифференциальной кривой 39, но с амплитудой 0,6 В, а не 6 А.

Понимание дуалов

Следующие два уравнения обозначают уравнение конденсатора и индуктора соответственно:

Это помогает нам определить уровень напряжения, создаваемого на компоненте током, изменяющимся во времени, в зависимости от конкретной функции.

Оценим результат, полученный дифференцирующий стороны L и H уравнения 21 относительно времени.

dU / dt = (1 / C) I

Как мы знаем, дифференцирование - это обратное интегрированию, дифференцирование ∫I dt обращает интегрирование, и в результате получается только I.

Дифференциация c / C дает ноль, а перестановка членов дает следующее:

I = C.dU / dt [Уравнение 27]

Это позволяет нам узнать направление тока, идет ли он к конденсатору или исходит от него, в ответ на изменение напряжения в соответствии с заданной функцией.

Интересно то, что выше уравнение тока конденсатора выглядит похоже на уравнение напряжения (26) индуктора, которое показывает емкость, двойственность индуктивности.

Точно так же ток и разность потенциалов (pd) или скорость изменения тока и pd могут быть двойными при применении к конденсаторам и катушкам индуктивности.

Теперь давайте проинтегрируем уравнение 26 по времени, чтобы завершить формулировку уравнения:

∫ U dt + c = LI

Интеграл от dI / dt равен = I, мы меняем выражения, чтобы получить:

I = 1 / L∫ U dt + e / L

Это снова выглядит очень похоже на уравнение 21, дополнительно доказывая двойную природу емкости и индуктивности, а также их pd и тока.

К настоящему времени у нас есть система из четырех уравнений, которые можно использовать для решения проблем, связанных с конденсаторами и индукторами.

Например, уравнение 27 может быть применено для решения проблемы следующим образом:

Проблема: Импульс напряжения, приложенный к 100 мкФ, дает кривую, как показано на рисунке ниже.

Это можно определить с помощью следующей кусочной функции.

Рассчитайте ток, протекающий через конденсатор, и постройте соответствующие графики.

Решение:

Для первого этапа применим уравнение 27

I = C (dU / dt) = 0

Для второго случая, когда U может расти с постоянной скоростью:

I = C (dU / dt) = 3C = 300 мкА

Это показывает постоянный зарядный ток.

Для третьей стадии, когда U падает экспоненциально:

Это указывает на то, что ток течет от конденсатора с экспоненциально убывающей скоростью.

Фазовое соотношение

На рисунке abobe переменный pd приложен к катушке индуктивности. Этот pd в любой момент может быть выражен как:

Где Uo - пиковое значение pd. Если проанализировать схему в виде петли и применить закон Кирхгофа по напряжению по часовой стрелке, мы получим:

Однако, поскольку ток здесь синусоидальный, члены в скобках должны иметь значение, равное пиковому току Io, поэтому в итоге мы получаем:

Если мы сравним уравнения 29 и 30, мы обнаружим, что ток I и напряжение U имеют одинаковую частоту, а I отстает от U на величину π / 2.

Полученные кривые можно изучить на следующей диаграмме:

C

Это показывает контрастное соотношение между конденсатором и катушкой индуктивности. Для индуктора ток отстает от разности потенциалов на π / 2, а для конденсатора ток опережает pd. Это еще раз демонстрирует двойственную природу двух компонентов.