Что такое распределение Ферми Дирака? Диаграмма энергетических зон и приближение Больцмана

Электроны и дыры играют важную роль в передаче электроэнергии в полупроводники . Эти частицы расположены в полупроводнике на разных уровнях энергии. Движение электронов с одного энергетического уровня на другой производит электричество . Электрон внутри металла должен обладать уровнем энергии, по крайней мере превышающим энергию поверхностного барьера, чтобы уйти на более высокий энергетический уровень.

Было предложено и принято множество тезисов, объясняющих характеристики и поведение электронов. Но некоторое поведение электрона, такое как независимость эмиссионного тока от температуры и т. Д., Все еще оставалось загадкой. Затем прорывная статистика, Статистика Ферми Дирака , опубликовано Энрико Ферми и Поль Дирак в 1926 г. помог решить эти загадки.

С тех пор Распределение Ферми Дирака применяется для объяснения коллапса звезды в белый карлик, для объяснения эмиссии свободных электронов из металлов и т. д.

Распределение Ферми Дирака

Прежде чем попасть в Функция распределения Ферми-Дирака давайте посмотрим на энергия распределение электронов в различных типах полупроводников. Максимальную энергию свободного электрона может иметь материал при абсолютной температуре. при 0k известен как уровень энергии Ферми. Величина энергии Ферми различна для разных материалов. В зависимости от энергии, которой обладают электроны в полупроводнике, электроны располагаются в трех энергетических зонах - зоне проводимости, уровне энергии Ферми и зоне валентности.

В то время как зона проводимости содержит возбужденные электроны, валентная зона содержит дырки. Но для чего нужен уровень Ферми? Уровень Ферми - это энергетическое состояние, которое с вероятностью 1/2 может быть занято электроном. Проще говоря, это максимальный уровень энергии, который электрон может иметь при 0k, и вероятность нахождения электрона выше этого уровня при абсолютной температуре равна 0. При абсолютной нулевой температуре половина уровня Ферми будет заполнена электронами.

На диаграмме энергетических зон полупроводника уровень Ферми находится посередине зоны проводимости и валентной зоны собственного полупроводника. Для примесного полупроводника уровень Ферми находится вблизи валентной зоны в Полупроводник P-типа и для Полупроводник N-типа , он находится рядом с зоной проводимости.

Уровень энергии Ферми обозначен ЯВЛЯЕТСЯ_F, зона проводимости обозначается как ЯВЛЯЕТСЯ_C а валентная зона обозначается E_V.

Уровень Ферми в типах N и P

Уровень Ферми в полупроводниках N- и P-типа

Функция распределения Ферми-Дирака

Вероятность того, что имеющееся энергетическое состояние «E» будет занято электроном при абсолютной температуре T в условиях теплового равновесия, определяется функцией Ферми-Дирака. Из квантовой физики выражение распределения Ферми-Дирака имеет вид

Где k - постоянная Больцмана в ^{ИЛИ ЖЕ}К , T - температура в ⁰К и ЯВЛЯЕТСЯ_F - уровень энергии Ферми в эВ. k = 1,38 · 10^-2,3Дж / К

Уровень Ферми представляет собой энергетическое состояние с 50% вероятностью заполнения, если запрещенная зона не существует, т. Е. Если E = E_F тогда f (E) = 1/2 для любого значения температуры.

Распределение Ферми-Дирака дает только вероятность заполнения состояния на данном уровне энергии, но не дает никакой информации о количестве состояний, доступных на этом уровне энергии.

Распределение диаграммы Ферми и диаграмма энергетических зон

f (E) против (E-E_F) участок

На приведенном выше графике показано поведение уровня Ферми в различных диапазонах температур. Т = 0⁰К, Т = 300⁰К, Т = 2500⁰К. В Т = 0 К , кривая имеет ступенчатые характеристики.

В Т = 0⁰К общее количество уровней энергии, занятых электронами, можно узнать с помощью функции Ферми-Дирака.

Для заданного уровня энергии E> E_F , экспоненциальный член в функции Ферми-Дирака становится 0 и что означает, что вероятность нахождения занятого энергетического уровня энергии больше, чем ЯВЛЯЕТСЯ_F равно нулю.

Для заданного уровня энергии ЯВЛЯЕТСЯF значение которого означает, что все энергетические уровни с энергией меньше, чем у уровня Ферми E_Fбудет занят в Т = 0⁰К . Это указывает на то, что уровень энергии Ферми - это максимальная энергия, которую электрон может иметь при температуре абсолютного нуля.

Для температуры выше абсолютной и E = E_F , то независимо от значения температуры.

Для температуры выше абсолютной и ЯВЛЯЕТСЯF , то экспонента будет отрицательной. f (E) начинается с 0,5 и имеет тенденцию к увеличению до 1 по мере уменьшения E.

Для температуры выше абсолютной и E> E_F , экспонента будет положительной и увеличивается с ростом E. f (E) начинается с 0,5 и имеет тенденцию к уменьшению в сторону 0 по мере увеличения E.

Распределение Ферми Дирака приближение Больцмана

Распределение Максвелла-Больцмана обычно используется Приближение распределения Ферми-Дирака .

Распределение Ферми-Дирака дается формулой

К используя Максвелла - приближение Больцмана приведенное выше уравнение сводится к

Когда разница между энергией носителя и уровнем Ферми велика по сравнению с, членом 1 в знаменателе можно пренебречь. Для применения распределения Ферми-Дирака электрон должен следовать исключительному принципу Паули, который важен при сильном допировании. Но распределение Максвелла-Больцмана игнорирует этот принцип, поэтому приближение Максвелла-Больцмана ограничивается случаями с низким уровнем легирования.

Статистика Ферми Дирака и Бозе-Эйнштейна

Статистика Ферми-Дирака - это ветвь квантовой статистики, которая описывает распределение частиц по энергетическим состояниям, которые содержат идентичные частицы, подчиняющиеся принципу исключения Паули. Поскольку статистика F-D применяется к частицам с полуцелым спином, они называются фермионами.

Система, состоящая из термодинамически равновесных и идентичных частиц в одночастичном состоянии I, среднее число фермионов определяется распределением F-D как

где - одночастичное состояние я , полный химический потенциал обозначается как, к_B - постоянная Больцмана, тогда как Т абсолютная температура.

Статистика Бозе-Эйнштейна противоположна статистике F-D. Это применяется к частицам с полным целочисленным спином или без спина, называемым бозонами. Эти частицы не подчиняются принципу исключения Паули, что означает, что одна и та же квантовая конфигурация может быть заполнена более чем одним бозоном.

Статистика F-D и статистика Бора-Эйнштейна применяются, когда важен квантовый эффект и частицы неразличимы.

Проблема распределения Ферми-Дирака

В твердом теле рассмотрим уровень энергии, лежащий на 0,11 эВ ниже уровня Ферми. Найти вероятность того, что этот уровень не будет занят электроном?

Проблема распределения Ферми-Дирака

Это все о Распределение Ферми Дирака . Наконец, из приведенной выше информации мы можем сделать вывод, что макроскопические свойства системы могут быть вычислены с использованием функции Ферми-Дирака. Он используется для определения энергии Ферми как при нулевой, так и при конечной температуре. Давайте ответим на вопрос без каких-либо расчетов, основываясь на нашем понимании распределения Ферми-Дирака. Для уровня энергии E, на 0,25e.V ниже уровня Ферми и температуры выше абсолютной температуры, кривая распределения Ферми уменьшается в сторону 0 или увеличивается в сторону 1?